5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Reflexión sobre el eje x
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R2 en R2 que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:



En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:


Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:


Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)






Ejemplo contracción


Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.


Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.
Rotación por un ángulo



Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R2 en R2 que gira cada vector un angulo , para obtener un vector


En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:



Distribuyendo y usando el hecho de que y tenemos que:


Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación tal que
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que: